Главная страница 1




Содержание

Введение...4

Глава 1. Одномерный полюсный метод Ньютона...16

1.1. Построение метода и исследование его сходимости...16

1.2. О параметрах метода...22

1.3. Численные примеры...26

1.4. Выводы...33

Глава 2. Полюсный метод Ньютона решения систем нелинейных

уравнений...34

2.1. Перенос метода на системы из двух уравнений (векторный подход) ...34

2.2. Обобщение метода на случай систем произвольной размерности...38

2.3. Сходимость полюсного метода Ньютона в «-мерных пространствах...43

2.4. Численные примеры...47

2.5. Выводы...54

Глава 3. Полюсный метод Ньютона в банаховых пространствах...56

3.1. Формальное построение полюсного метода Ньютона для нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах и его представления в Rw...56

3.2. Сходимость обобщенного полюсного метода Ньютона...60

3.3. Выводы...67

Глава 4. О применении полюсной параметризации к некоторым известным итерационным процессам...68

4.1. Полюсные методы секущих...68

4.2. Полюсный метод Ньютона с векторным параметром...72

4.3. Аппроксимационный аналог полюсного метода Ньютона с векторным параметром...74

4.4. Выводы...77

3 Глава 5. Примеры применения полюсных методов к решению

прикладных задач...78

5.1. Численные эксперименты с интегральными уравнениями Гаммерштейна...78

5.2. Применение полюсного метода к решению уравнения движения доменной границы при скачке Баркгаузена...83

5.3. Выводы...90

Заключение...92

Литература...93

Введение

При решении многих прикладных задач на каком-то этапе возникает необходимость в нахождении корней нелинейных скалярных уравнений вида

Дх) = 0 • ¦ (0.1)

или систем нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений, представляемых уравнением

F{x) = 0, (0.2)

где F: R,, -> Rn — векторная функция векторного аргумента. Изначально решаемые задачи при математической постановке часто сами формулируются в виде задачи отыскания решений нелинейного операторного уравнения

F(x) = 0, (0.3)

где в общем случае F — нелинейный оператор, действующий из некоторого множества Q банахова пространства X в нормированное пространство У. Очевидно, что уравнения вида (0.1) являются частным случаем систем (0.2) при п = 1, а системы (0.2), в свою очередь, можно рассматривать как уравнения (0.3) при X = Y = Rn.

Главное место среди известных методов приближенного решения уравнений (ОЛ)-(О.З) принадлежит итерационным методам. Без описания методов решения уравнений (0.1), (0.2) не обходится никакая учебная и справочная литература по современным численным методам [1, 2, 5, 11-13, 18, 20, 24, 28-31, 38, 47, 56, 66], а методы решения уравнений (0.3) содержатся во многих учебниках по функциональному анализу [40, 58, 67, 68 и др.]. Вопросам теории и применения итерационных методов посвящено множество монографий (см., например, [25, 35, 39, 49, 50, 64]), огромное количество научных статей.

Из обширного списка известных на сегодняшний день итерационных методов решения уравнений (0.1) выделим метод касательных, предложенный Ньютоном еще в 1669 году и позже, в 1690 году, Рафсоном. Названный в честь знаменитого ученого-первооткрывателя метод Ньютона (Ньютона-Рафсона) от-

личается идейной простотой, геометрически наглядной интерпретацией и вторым порядком сходимости итерационной последовательности, которая при заданном начальном элементе х0 определяется рекуррентной формулой

= 0, 1, 2, ... (0.4)

jfc+l к J*t/ \ '

J Ухк)


Теоретические результаты исследований и .рекомендации по практическому применению данного метода можно найти почти в любой литературе по вычислительной математике. Несмотря на достаточно высокую эффективность [64] и вычислительную устойчивость [3, 25, 50, 64, 79], метод Ньютона (как, впрочем, и любой другой итерационный метод) не лишен недостатков, среди которых: необходимость вычисления производной на каждом итерационном шаге, линейная сходимость в случае кратных корней [62, 85], сугубо локальный характер сходимости, подразумевающий знание достаточно близкого к корню начального приближения. В связи с этим были созданы некоторые модификации метода:

- упрощенный метод Ньютона [24], предполагающий вычисление производной только в точке начального приближения, а также реализации метода Ньютона, где производная вычисляется точно не на каждой итерации, а через некоторое их число [93]. Цель таких модификаций — уменьшение вычислительных затрат, однако при этом теряется квадра-тичность скорости сходимости итерационных последовательностей (например, упрощенный метод Ньютона, будучи частным случаем метода простых итераций, обладает лишь скоростью сходимости геометрической прогрессии [11, 13]);

- конечноразностные модификации (конечноразностный метод Ньютона и метод секущих [5, 11, 13, 25, 50], метод Стеффенсена [50, 62], метод экспоненциального спуска [118] и некоторые другие методы подобного типа (см., например, [117, 119])). В итерационных формулах таких модификаций производная заменяется некоторым аппроксимирующим ее разност-

ным отношением и возникающие при этом итерационные методы различаются, в основном, выбором формулы и шага дискретизации производной. Например, метод секущих

получается из метода Ньютона (0.4) на основе простейшего приближенного равенства

при h = хк_х - хк, а метод Стеффенсена — из него же при h = f(xk). В некоторых случаях подобный подход повышает вычислительную эффективность метода с сохранением высокой скорости сходимости (от сверхлинейной до квадратичной);

параметрические модификации (метод Ньютона-Шрёдера [11, 13, 62], методы [115, 116, 119] и др.). Здесь введение параметров в итерационную формулу метода Ньютона вместе с соответствующим правилом их выбора позволяют как увеличить быстроту сходимости классического метода Ньютона (например, в случае кратных корней),'так и повысить его устойчивость к выбору начального приближения;

модификации, полученные суперпозицией метода Ньютона и какого-либо другого итерационного процесса. Эти модификации либо сочетают быструю сходимость метода Ньютона с «глобальной», но обычно более медленной сходимостью другого метода (например, метода дихотомии), расширяя таким образом границы применимости классического метода Ньютона при сохранении достаточно высокой скорости сходимости последовательности приближений к корню (гибридные методы) [11, 50], либо являются сложными многоступенчатыми или вложенными итерационными процессами [64, 91, 92, 99, 104, 114], в которых результирующие итерационные последовательности имеют более высокий порядок сходи-

мости по сравнению с ньютоновскими. Например, в [104] строится метод достаточно простого вида

х =х_____/(**)____ ?_0 1 о

Л 1ЫУ

и обосновывается его кубическая сходимость. Цена за повышение порядка — лишнее вычисление производной на каждом итерационном шаге. Существуют также и стоящие в стороне от перечисленных идейно близкие методу Ньютона методы порядка сходимости выше второго, но они, как правило, содержат старшие производные заданной функции [5, 37, 64, 73, 75, 96 и др.]. Таковыми являются, например, известные методы Чебышева-Шрёдера и Хэлли. Подытожив сложившуюся ситуацию с различными модификациями одномерного метода Ньютона, отметим, что большинство из полученных современными авторами результатов, укладывается в общую теорию итерационных функций, описанную в замечательной монографии Трауба [64].



Безусловный интерес представляет повышение вычислительной эффективности итерационных методов, иначе, получение более точных результатов без дополнительных вычислений функций и их производных. Одно направление такого повышения — это ускорение сходимости итерационных последовательностей за счет построения «паразитирующих» на них более быстро сходящихся к тому же пределу последовательностей. Классическим примером тому служит А2-преобразование Эйткена, а также метод Вегстейна [11, 13]. Подробный обзор на эту тему можно найти в работе [87]; к сожалению, из 155 литературных источников там нет ни одного русскоязычного. Другое направление, развиваемое в настоящей диссертации, — это создание на базе хорошо зарекомендовавших себя классических методов таких модификаций, которые бы успешно с ними конкурировали по части вычислительной эффективности.

Для решения систем нелинейных уравнений (0.2) обобщение метода Ньютона (0.4) имеет вид . •

Так же, как и в одномерном случае, метод (0.5) является одним из наиболее привлекательных и для исследователей, и для тех, кому приходится решать реальные задачи, сводящиеся к системам вида (0.2). Метод Ньютона здесь обладает в общем смысле теми же достоинствами и недостатками, что и метод (0.4), но переход от размерности п = 1 к п > 2 значительно усложняет задачу успешного и эффективного его применения, внося в нее дополнительные нюансы. А именно:

- при наличии многочисленных утверждений о сходимости метода Ньютона (см., например, [11, 13, 24, 25, 49, 88, 120]) выбор начального приближения х(0), удовлетворяющего требуемым ими совокупностям достаточных условий сходимости, сопряжен со значительными трудностями;

- построение на каждом шаге матрицы Якоби F'(x(*} J и ее обращение (или

решение соответствующей системы линейных уравнений относительно шаговых поправок) при достаточно большой размерности системы (0.2) является вычислительно дорогой задачей, и т.п. Многие из способов модификации метода Ньютона в Rn, призванных так или

иначе улучшить ситуацию, приведены в известных монографиях Ортеги и Рейнболдта [49] и Дэнниса и Шнабеля [25]. Однако вышеперечисленные проблемы и по сей день остаются актуальными для вычислительной математики. Об этом свидетельствует появление все новых результатов по данной тематике, из которых отметим, например, работы [41, 71, 87, 107, ПО]. Особый интерес представляют исследования возможностей применения метода Ньютона к решению систем уравнений с негладкими функциями [94, 95, 113]. Следует заметить, что хотя далеко не все модификации одномерного метода Ньютона можно однозначно обобщить на многомерный случай, переход к большим размерностям порождает свою специфику, с учетом которой можно строить на базе ньютоновского процесса эффективные методы, используя, например, только «од-

номерную» геометрическую идею. Пример тому — конечноразностные многомерные модификации метода Ньютона [11, 25].

В общей теории приближенных методов имеется ряд фундаментальных результатов. К таковым, наверное, можно отнести основополагающие работы Л.В. Канторовича по методу Ньютона [32-34], которые дали толчок интенсивному изучению различных итерационных методов решения операторных уравнений вида (0.3). Из обширной посвященной этому литературы прошлых лет выделим лишь две монографии [35, 57] и статью [70], а из современной — статьи [65, 83, 84, 78, 79, 81, 97, 98, 100-103, 105] и докторскую диссертацию [72]). Метод Ньютона

k = 0, 1, 2, ... (0.6)

(обычно называемый в операторном случае методом Ньютона-Канторовича) часто изучается в рамках семейства более общих методов типа метода Ньютона [72, 77, 82,120]

xiM)=Jk)-[A(xw)JlF{xw), Jc = O, I, 2, ..., (0.7)

где А^х{кЛ:X -^Y — некоторый линейный оператор, каким-либо образом отслеживающий скорость изменения оператора F с увеличением номера к. Основные теоретические результаты об условиях и скорости сходимости таких методов, полученные в последние 30 лет, можно найти в сконцентрированном виде в обзорных статьях [93, 120]. Обобщен на операторный случай и упоминавшийся выше метод секущих; здесь отметим лишь одну старую [63] и одну современную [74] статьи на эту тему.

Проводились исследования и более широких, чем (0.7), семейств итерационных методов, содержащих в себе метод Ньютона и некоторые его модификации. Речь идет о так называемом усиленном методе Ньютона-Канторовича

где Ак — линейный оператор, так или иначе аппроксимирующий обратный к производной Фреше F'{x{k)} оператор, a g — определенным образом конст-

руируемый по F оператор итерирования [17, 35, 42]. Для случая, когда (0.8) является прямой модификацией метода Ньютона, т.е. основная расчетная формула метода имеет вид

xW=xm-AkF(xm), k = 0, 1, 2, ..., (0.9)

к построению последовательности операторов Ак, как правило, привлекаются те или иные обобщения известного процесса Шульца итерационного обращения матриц [112]. Исследования получающихся при этом на базе (0.9) методов восходят к работам Ульма [69] и Мозера [108] и далее развиваются в статьях [6, 8, 48, 89, 90, 109, 111 и др.]. При этом с целью «удешевления» одной итерации здесь зачастую прибегают к рекурсии, что приводит к различным комбинированным многоступенчатым процессам, в которых чередуются точные обращения с приближенными обращениями операторов-производных или операторы Ак сохраняются неизменными на одном или нескольких итерационных шагах.

Исследования таких процессов можно найти, например, в работах [4, 9, 19, 22, 65].

Не остались без внимания исследователей и случаи, когда, например, прямое применение метода Ньютона некорректно и вместо обратных операторов в методе (0.6) и ему подобных используются псевдообратные и правые обратные операторы [61, 80, 86 и др.]. Ряд работ посвящен непрерывным аналогам метода Ньютона, в которых вместо дискретной переменной к используется непрерывная скалярная переменная /, изменяющаяся на полуоси [0, +оо) или

на отрезке [0, l], и решение х* исходной задачи (0.3) ищется как предел решения соответствующей дифференциальной задачи Коши либо при /—>+оо [21, 27], либо при t->l [26, 106]. Имеются также предложения сводить уравнение (0.3) в конечномерном случае к уравнениям с частными производными гиперболического типа [43].

Обобщенные итерационные методы и результаты их изучения могут быть естественным образом применены к решению и исследованию конечномерных уравнений вида (0.2), а также других частных случаев уравнений вида (0.3), из

которых наиболее типичными неконечномерными объектами являются нелинейные интегральные уравнения и краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако чаще всего в конкретных пространствах с конкретными свойствами для конкретных задач удается получить более тонкие теоретические результаты, облегчающие реализацию методов [41, 49, 57, 76].

Настоящая диссертация посвящена изучению и обобщению новой параметрической модификации итерационного метода Ньютона решения нелинейных уравнений, предложенной в 1989 году П.В. Вержбицким и впоследствии названной полюсным методом Ньютона, которая, как показывается, может превосходить классический метод Ньютона по скорости сходимости и успеш-

ности без привлечения дополнительных вычислений функции и ее производной.

Заметим, что бурное развитие вычислительной техники в последние годы заставляет переосмысливать роли приближенно-аналитических и сугубо численных методов решения различных задач прикладного анализа, отдавая предпочтение последним. Отсюда — преимущественное внимание автора к конечномерным задачам (к которым сразу приводит дискретизация тех или иных задач в бесконечномерных пространствах), наверное, в ущерб исследованиям методов решения операторных и конкретных функциональных уравнений. Такой подход характерен для многих других современных исследователей. Довольно типична ситуация, когда тот или иной метод решения операторных уравнений вида (0.3) применяется для решения нелинейных интегральных уравнений. При этом вместо пошагового сведения их к линейным интегральным же уравнениям сразу производится переход к системам алгебраических и/или трансцендентных уравнений и уже к ним применяется рассматриваемый метод ([74, 75] и др.).

Кроме доклада на конференции старшеклассников МФТИ, эта идея ее автором нигде публично не представлялась.

Термин заимствован из [59] и подразумевает возможность формального применения метода, приводящего на тестовых примерах к верному результату.

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика и информатика» ГОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет».

Научная новизна работы. Изучается новая параметрическая модификация метода Ньютона решения нелинейных скалярных уравнений и систем таких уравнений, а также нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах. Научных публикаций, посвященных построению, изучению и обобщению данного метода, кроме работ диссертанта и научного руководителя, не имеется.

Практическая ценность работы. Предложенная модификация предоставляет принципиальные возможности улучшить сходимость и расширить границы применимости классического метода Ньютона решения нелинейных уравнений. Значимость выполненных исследований обусловлена тем, что, в конечном итоге, решение многих задач сводится к решению нелинейных скалярных уравнений и систем таких уравнений, и очень важно, чтобы они решались как можно более эффективными методами.

Положения, выносимые на защиту:

- способ построения одномерного полюсного метода Ньютона, его обобщение на системы нелинейных уравнений и на операторные уравнения в банаховых пространствах;

- теоретические результаты исследования сходимости предлагаемого метода, численные примеры, демонстрирующие его достоинства в сравнении с классическим методом Ньютона;

- условия на выбор параметров в одномерном полюсном методе Ньютона, при которых возможно его эффективное и успешное применение; способы выбора параметров в многомерном полюсном методе Ньютона;

- применение полюсной параметризации к некоторым известным итерационным процессам; численные примеры, демонстрирующие достоинства такой параметризации;

- способ оптимизации численного решения серий «близких» систем нелинейных уравнений полюсным методом Ньютона на примере прикладной задачи движения доменной границы при скачке Баркгаузена.

Личный вклад автора. Диссертация является самостоятельной работой, где воедино сведены результаты, полученные лично автором и в соавторстве с научным руководителем. Автором совместно с научным руководителем проведено теоретическое исследование сходимости одномерного полюсного метода и средствами аналитической геометрии и векторной алгебры выполнен перенос полюсного метода Ньютона на многомерный случай. Лично автором проанализированы эффективные способы выбора параметров в одномерном полюсном методе Ньютона, сформулированы теоремы сходимости многомерного полюсного метода Ньютона, проведено сравнительное численное тестирование метода при различных способах фиксирования параметров. Кроме того, получено обобщение полюсного метода Ньютона на операторные уравнения в банаховых пространствах, сформулированы теоремы сходимости обобщенного метода. В качестве примера рассмотрена содержательная прикладная задача, в которой применен предлагаемый метод решения систем нелинейных уравнений. Здесь предложен эффективный способ фиксирования полюсов при решении жестких дифференциальных уравнений неявными методами. Основные положения и выводы диссертационной работы также сформулированы автором.

Доклады и публикации по теме диссертации. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

- VII Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2000», Москва, МГУ, 12-15 апреля, 2000 г.;

- XXXII Научно-техническая конференция ИжГТУ, Ижевск, 18-21 апреля, 2000 г.;

- VIII Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2001», Москва, МГУ, 10-13 апреля, 2001 г. ;

Работа отмечена грамотой «За лучший доклад» министра образования РФ.

- Межвузовская научная конференция «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения», Ижевск, ИжГТУ, 18-20 апреля, 2002 г.;

- IV Международная научно-техническая конференция ИжГТУ «Информационные технологии в инновационных проектах», Ижевск, 29-30 мая, 2003 г.;

- Всероссийская научная конференция «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», Екатеринбург, 2-6 февраля, 2004 г,

а также на математических семинарах Ижевского государственного технического университета, Пермского государственного университета, Института математики и механики УрО РАН.

Основное содержание работы изложено в 3 статьях и 6 тезисах докладов (ссылки [14-16, 46, 51-55] в списке литературы; результаты исследований частично включены в вузовские учебники по численным методам В.М. Вержбиц-кого [11, 12] (§5.7, §7.5) и [13] (§7.7, §9.5).

Структура диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы.

В первой главе описывается построение и проводится обсуждение нового метода применительно к решению нелинейных скалярных уравнений. Приводятся условия, обеспечивающие квадратичную сходимость предложенного метода. Анализируются различные способы выбора параметров, при которых возможна сверхквадратичная сходимость полюсного метода Ньютона, а также сходимость указанного метода в условиях неприменимости или расходимости классического метода Ньютона; достоинства нового метода иллюстрируются численными примерами.

Во второй главе геометрическая идея построения метода распространяется на многомерный случай, строится полюсный метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений. Приводятся теоремы сходимости такого метода, указывается способ выбора параметров для обеспечения квадратичной сходимости

метода. Приводятся численные примеры эффективного применения полюсного метода Ньютона в сравнении с его классическим прообразом.

В третьей главе метод обобщается на нелинейные операторные уравнения с гладкими операторами в банаховых пространствах, исследуется сходимость полученного метода.

В четвертой главе рассматривается применимость идеи полюсной параметризации к некоторым известным процессам, близким к ньютоновским. Указывается способ «настройки» параметра одного из предлагаемых здесь полюсных методов при решении серии близких систем нелинейных уравнений. Приводятся численные примеры эффективного применения полученных таким образом полюсных модификаций методов в сравнении с их прообразами.

В пятой главе демонстрируются способы эффективного применения полюсных методов применительно к задаче приближенного решения нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна и к прикладной задаче приближенного решения нелинейного дифференциального уравнения движения доменной границы при скачке Баркгаузена.

В заключении приводятся основные выводы по результатам проделанной работы.

Содержание диссертации изложено на 103 страницах машинописного текста, включая 4 страницы с рисунками, 26 таблиц и библиографический список, содержащий 120 названий.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору кафедры ПМИ ИжГТУ В.М. Вержбицкому за постановку задач исследований и постоянное внимание к работе над диссертацией; преподавателям и сотрудникам кафедры ПМИ ИжГТУ и лично заведующему кафедрой доценту А.А. Айзиковичу за всестороннюю поддержку, а также А.Н. Мельниковой за своевременное замечание относительно выбора параметров при построении обобщенного полюсного метода.

Глава 1. Одномерный полюсный метод Ньютона

1.1. Построение метода и исследование его сходимости

Рассмотрим задачу приближенного нахождения корней нелинейных уравнений вида

Л*) = о (l.i)

с достаточно гладкой функцией /: R, -> R,.

Положив в основу эффективный и хорошо изученный метод касательных Ньютона, построим новую его модификацию, руководствуясь следующими геометрическими соображениями.

Возьмем на плоскости с декартовой системой координат Оху некоторую

точку Р[с\ d) (назовем ее полюсом) и через нее и определяемую предыдущим приближением точку (хк; 0) проведем прямую. Новым приближением хд+1 будем считать абсциссу точки Q пересечения этой прямой с касательной к графику функции f{x), проведенной в точке А[хк\ /(**)) (см. рис. 1.1).

Р(с\ d)

Рис. 1.1. К построению полюсного метода Ньютона



(хк+1 — приближение по строящемуся методу, хы — приближение по

методу Ньютона, х* — точное решение уравнения (1.1)).

17 Составив уравнения указанных прямых:

у=-


с-хк

и приравняв их правые части, приходим к рекуррентному равенству

При заданном х0 и изменяющемся к-О, 1, 2, ... это равенство определяет

двухпараметрический одношаговый итерационный процесс, называемый далее полюсным методом Ньютона (с фиксированным полюсом).

Легко видеть, что при равенстве нулю выражения

с-хк


(т.е. при d = 0) новый метод (1.2) совпадает с базовым для него классическим методом Ньютона, следовательно, в определенном смысле обобщает свой классический прообраз.

Анализ рис. 1.1, на котором через хк+1 обозначено приближение по методу Ньютона, показывает, что за счет удачного расположения полюса Р полюсной модификацией метода Ньютона можно получить лучшее уточнение приближенного значения корня, чем посредством базового метода в смысле

выполнения неравенства

А+1


х* -хк+1\. Нетрудно также представить гра-

фически ситуацию, когда полюсный вариант будет генерировать сходящуюся к корню последовательность, в то время как, например, ньютоновское приближение отбрасывается в бесконечность.



Изучим поведение погрешности к -го приближения, получаемого полюсным методом Ньютона (1.2), в предположении о существовании в некоторой окрестности корня х* уравнения (1.1) (содержащей начальную точку jc0) непрерывной второй производной функции f(x).


Смотрите также:
Исследование его сходимости о параметрах метода Численные примеры
177.37kb.
1 стр.
Исследование и разработка метода алгебраического моделирования пространственных окрашенных объектов
174.39kb.
1 стр.
Рабочая программа по курсу (дисциплине) "Математический анализ"
83.03kb.
1 стр.
Контрольно курсовая работа на тему: " Исследование религиоведческой концепции З. Фрейда психоаналитического метода в целом "
168.02kb.
1 стр.
Решить примеры задач линейного программирования: а с использованием симплекс-метода
544.08kb.
11 стр.
Исследование на заметку пациенту
83.68kb.
1 стр.
Решение алгебраических уравнений высоких степеней. Решение нелинейных уравнений методом Ньютона и методом простых итераций. Сходимость, оценка погрешности
9.09kb.
1 стр.
Учебной дисциплины «Численные методы» для направления 010200. 62 «Математика и компьютерные науки»
58.84kb.
1 стр.
Учебной дисциплины «Численные методы» для направления 010400. 62 «Прикладная математика и информатика»
58.32kb.
1 стр.
Модификация антронового метода количественного определения углеводов и его применение для анализа растительного сырья, содержащего полисахариды
51.14kb.
1 стр.
Исследование и анализ российского рынка косметики. Название компании-исполнителя
77.75kb.
1 стр.
Сравнение метода конечных объёмов и метода галёркина для задачи бюргерса
21.62kb.
1 стр.